Узел сетки. Расчётная сетка

В этой статье мы расскажем об особенностях построения сетки для линейных статических задач, решаемых методом конечных элементов. Это первая публикация из ряда о методах построения сетки. Серия статей написана, чтобы дать рекомендации, которые помогут с уверенностью строить расчётные сетки для моделей конечных элементов.

Построение сетки конечных элементов

Расчётная сетка конечных элементов нужна для двух целей. Первая — разбиение смоделированных в САПР геометрий на меньшие части или элементы.

По ним можно записать систему уравнений, описывающую решение главного уравнения. Ещё сетка используется для отображения области решений физических задач.

Существует погрешность, связанная с дискретизацией геометрии и дискретизацией решения. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Дискретизация геометрии

Рассмотрим два простых геометрических тела: куб и цилиндрическую оболочку.

Существует четыре различных типа элементов, которые можно использовать для построения сеток. Это геометрические тела — тетраэдры (четырехгранники), гексаэдры (шестигранники), треугольные призматические элементы (призмы) и пирамиды.

Серые кружки отображают углы или узлы элементов. Эти четыре элемента могут быть использованы в любой комбинации. (Для двухмерного моделирования доступны треугольные и четырехугольные элементы.

) После рассмотрения иллюстрации становится видно, что расчётные сетки обоих геометрических тел могут быть построены с использованием всего лишь одного шестигранника, двух призм, трёх пирамид или пяти четырёхгранников.

Как мы узнали из более ранней записи в блоге о решении линейных статических задач методом конечных элементов, вы всегда получите решение уже в первой итерации метода Ньютона-Рафсона. Это является верным для всех линейных задач конечных элементов независимо от вида расчётной сетки.

Так что давайте взглянем на простейшую сетку, которую мы можем наложить на выбранные структуры. Иллюстрация ниже — это графическое представление дискретизации наших геометрических тел на один шестигранник:

Очевидно, что расчётная сетка куба — это идеальное представление исходного геометрического тела, а вот сетка цилиндрической оболочки проявляется достаточно плохо. Фактически она появляется в таком виде только при выводе изображения.

Элементы всегда выводятся на экран с прямыми рёбрами, (это сделано для повышения графической производительности) но для дискретизации геометрии (и решения) COMSOL обычно использует элементы Лагранжа второго порядка.

Так что, хотя рёбра элемента всегда появляются в виде прямых, внутри среды они представлены как:

Белые кружки отображают срединные узлы рёбер элементов второго порядка. Линии, определяющие ребра элементов, проходят через три точки. Рёбра аппроксимированы полиномиальным приближением.

В центре каждой из четырехсторонних поверхностей и в центре объема шестигранных элементов Лагранжа второго порядка также есть дополнительные узлы (опущены для простоты). Видно, что эти узлы хорошо служат для представления искривленных границ элементов.

Для большинства физических задач COMSOL использует элементы второго порядка по умолчанию. Два исключения из этого — задачи, связанные с переносом химических веществ и полем потока жидкости.

(Пока в проблемах такого типа в основном речь идёт о конвекции, главные уравнения лучше решать с элементами первого порядка.) Также доступны и элементы более высокого порядка. А вот элементы второго порядка — это отличный компромисс между точностью и требованиями к вычислительной производительности.

Иллюстрация ниже показывает погрешность геометрической дискретизации при построении сетки для дуги в 90° в количестве элементов первого и второго порядка:

Вывод, который можно сделать из всего вышесказанного: для уменьшения погрешности геометрической дискретизации до уровня ниже 1% нужно хотя бы два элемента второго порядка или восемь элементов первого порядка.

Фактически два элемента второго порядка вносят погрешность геометрической дискретизации менее чем 0.1%. Более густые сетки будут точнее представлять фигуру, но и используют больше вычислительных ресурсов.

Это дает нам два хороших практических совета:

1. При использовании элементов первого порядка подгоняйте сетку таким образом, чтобы приходилось хотя бы 8 элементов на дугу в 90° градусов
2. При использовании элементов второго порядка на дугу в 90° должно приходиться два элемента

Теперь с этими правилами, полученными опытным путём, мы можем оценить погрешность, внесённую при построении сетки. Это возможно сделать с определенной уверенностью даже до непосредственного решения модели. А сейчас давайте обратим наше внимание на то, как сетка дискретизирует решение.

Дискретизация решения

Расчётная сетка конечных элементов также используется для представления области решений. Решение вычисляется по узловым точкам. При его интерполяции используется полиномиальный базис для восстановления полного поля решений.

При расчёте линейных задач методом конечных элементов у нас всегда получится решение, и не важно насколько сетка груба. Она может не быть слишком точной.

Чтобы понять, как плотность сетки влияет на точность решения, взглянем на простую задачу передачи тепла на предыдущие тела:

Различные температуры приложены к противоположным граням куба и цилиндрической оболочки. Термическая проводимость является константой и все остальные поверхности изолированы.

Решение для случая с кубом следующее. Поле температуры изменяется линейно в теле куба. Для вычисления верного решения этой модели будет на самом деле достаточно одиночного шестигранного элемента первого порядка. Конечно, так будет везти не часто.

А теперь давайте посмотрим на чуть более сложный вариант. Мы уже видели, что модель цилиндрической оболочки будет с погрешностью геометрической дискретизации из-за искривленных рёбер, так что мы запустим её хотя бы с двумя элементами второго порядка (или восьмью первого порядка) вдоль искривленных рёбер.

Если вы посмотрите внимательно на изображение выше, увидите, как на границах искривлены рёбра элементов. Внутренние же элементы имеют прямые ребра. Пока поле температуры не изменяется вдоль оси цилиндра, мы можем использовать одиночный элемент.

Однако в радиальном направлении от внутренней к внешней поверхности нам необходимо иметь достаточно элементов для дискретизации решения. Аналитическое решение для этого случая выглядит так: ln(r). Его можно сравнить с нашим решением методом конечных элементов.

Пока полиномиальные базисные функции не могут дать идеального описания, давайте выведем изображение погрешности в решении конечных элементов для линейного и квадратичного элементов:

Из этого графика становится ясно, что по мере увеличения количества элементов в модели погрешность уменьшается. Это фундаментальное свойство метода конечных элементов: чем больше элементов, тем точнее решение. Конечно, с этим связаны затраты. Для решения больших моделей требуется больше вычислительных ресурсов и времени.

Теперь вы заметите, что здесь нет единиц измерения по оси x. Величина выбирается в каждом конкретном случае. Коэффициент, при котором погрешность уменьшается с увеличением густоты сетки, будет своим для каждой модели. Он зависит от многих факторов.

Единственный важный момент это то, что погрешность будет всегда монотонно уменьшаться для корректно поставленных задач.

Также вы заметите, что после определённой точки погрешность начинает снова увеличиваться. Это происходит, когда отдельные элементы сетки становятся очень маленькими, и мы сталкиваемся с пределами числовой точности. То есть числа в нашей модели меньше, чем могут быть точно представлены компьютером.

Эта проблема присуща всем вычислительным методам, не только с использованием конечных элементов. Компьютеры не способны точно отображать действительные числа. Точка, в которой погрешность начинает снова возрастать, будет примерно такой: sqrt{2^{-52}} approx 1.5 imes 10^{-8}. Мы часто говорим, что минимальная достижимая погрешность равна 10-6, чтобы не уходить от достоверной практики.

Таким образом, проинтегрируем вычисленную разность между точным и расчетным решением по всей модели:

epsilon = int_{Omega} {left| frac{u_{computed}-u_{true}}{u_{true}}
ight| } dOmega

Мы говорим, что обычно в пределах увеличения густоты сетки погрешность epsilon может быть приведена к такому небольшому значению, как 10-6.

В любом случае на практике же вводные данные наших моделей часто будут иметь намного большую неопределенность, чем эта величина. Также помните о том, что в целом мы не знаем точного решения.

Поэтому мы должны сравнить расчётные решения по сеткам с разными размерами и наблюдать, к каким значениям сходится результат.

Уплотнение адаптивной сетки

Хотелось бы завершить эту статью описанием лучшего способа уплотнить сетку. Графики выше показывают, что погрешность идёт на спад, когда все элементы в модели становятся меньше. Как бы то ни было, в идеальном случае вы сделаете элементы меньше только в участках, где погрешность высока.

Среда COMSOL реализует это через Adaptive Mesh Refinement (уплотнение адаптивной сетки), которое сначала строит первоначальную сетку. Затем среда по итерациям добавляет элементы в участки, где по оценке должна быть высокая погрешность и после этого решает модель снова.

Это можно проделывать столько итераций, сколько хочется. Данная функция работает с треугольными элементами в двухмерном пространстве и четырёхгранными в трехмерном. Давайте проверим это в контексте простой строительной задачи из механики — пластина с одноосным натяжением и отверстием, как показано на рисунке ниже.

Из-за того, что пластина симметрична, нам надо решить только одну четверть модели.

Рассчитанные поля смещения и результирующие натяжения вполне однородны на некотором расстоянии от отверстия, но изменяются в непосредственной близости от него. Рисунок ниже показывает первоначальную сетку, а также результаты нескольких итераций сгущения вместе с рассчитанным полем напряжения.

Обратите внимание, как избирательно среда COMSOL добавляет небольшие элементы вокруг отверстия. Это не должно удивлять вас, нам ведь известно, что здесь будет более сильное напряжение вокруг отверстия. На практике для выбора подходящей сетки рекомендуется использовать комбинацию сгущения адаптивной сетки, инженерной оценки и опыта.

Резюме основных моментов

• Вам следует всегда выполнять исследование сгущения сетки и сравнивать результаты сеток различных размеров
• Используйте ваши знания о погрешности геометрической дискретизации для того, чтобы выбрать максимально грубую исходную сетку и увеличить ее густоту
• Для того, чтобы сделать сетку более плотной, используйте метод дробления адаптивной сетки или свою инженерную оценку

Влияние формы сетки КЭ на результаты расчета

Как известно, в 21 версии СКАДа появился новый вид автоматической триангуляции плоских контуров. Если ранее программа старалась бить сетку на квадраты, не обращая внимания на вырождающиеся вытянутые элементы, то сейчас автоматическая сетка выглядит треугольной, хаотичной, но более-менее равномерной. Насколько это хорошо или плохо, я и попытался рассмотреть.

Описание экспериментальных моделей

Для рассмотрения сеток на конкретном примере была выбрана часть здания с переменным по высоте планом. В выбранной модели плиты перекрытия имеют разный размер и форму, что позволило выловить больше возможных «косяков» и ошибок при создании сеток КЭ. Заготовка модели состояла из контуров плит и стен, а также осей колонн и площадок сопряжения колонн с перекрытиями.

Модель была дважды разбита на конечные элементы с ручным выделением каждого контура. Первый способ — «В. С разбиением контура» — для получения неортогональной «треугольной» сетки, второй — «Создание ортогональной сетки с заданным максимальным размером элемента» — для создания «старой» ортогональной сетки. Далее будем называть эти сетки просто «ортогональная» и «неортогональная». 

В обоих случаях шаг триангуляции был выбран равным 0.6 метра. Опытным путем (тестовыми разбиениями), а также с учетом общепринятых правил этот шаг был принят оптимальным.

В обоих случаях был отмечен чекбокс «Объединить 3-х узловые элементы в 4-х узловые». SCAD не объединяет два треугольника в прямоугольник, если при этом снижается качество сетки.

Из-за этого количество треугольников в модели с неортогональной сеткой оказалось существенно выше.

Полученные модели выглядели следующим образом:

Улучшение качества триангуляции — две дополнительные модели

Затем, задачу было решено расширить и включить в рассмотрение еще две модели — с улучшенной сеткой конечных элементов. Улучшение сетки производилось штатным средством SCAD 21.1.

О работе инструмента «улучшение качества триангуляции»

Инструмент улучшения качества триангуляции, согласно справке к программе, «производит попытку сместить те узлы, которые были порождены в процессе создания конечноэлементной сетки таким образом, чтобы улучшить показатели качества». Фактически, согласно моим наблюдениям (отчасти подтвержденным разработчиками), работает инструмент следующим образом: 

1. Узлы «неудовлетворительных элементов» (об оценке качества смотри ниже) передвигаются строго в плоскости тех пластин, которым они принадлежат.
2. Если узел принадлежит пластинам, лежащим в другой плоскости — его программа не трогает.
3. Если узел принадлежит каким-либо стержням или специальным конечным элементам — его программа не трогает.

Таким образом, использование инструмента целиком на всей модели не представляет видимой опасности и не искажает модель.

Обе созданные модели рассматривались в двух вариантах — до улучшения и после него. В результате рассматривалось 4 отдельных модели с различными сетками конечных элементов:

Полученные сетки КЭ

Полученные сетки КЭ на примере одной из плит перекрытия представлены ниже:

Ортогональная сетка до улучшения Ортогональная сетка после улучшения Неортогональная сетка до улучшения Неортогональная сетка после улучшения

Предварительный анализ

Первоначально полученные модели сравнивались численно — по количественным показателям. В том числе использовались показатели встроенного в SCAD 21.1 инструмента оценки качества.

О коэффициенте формы

Коэффициент формы элемента в SCAD — это отношение суммы квадратов сторон к 4 площадям этого элемента:

К примеру, для квадрата (вероятно, идеальной формой конечного элемента является именно квадрат) коэффициент формы будет равен 1. Для равностороннего треугольника — корень из 3. 

upd: при этом для равностороннего треугольника в схеме SCAD дает коэффициент формы, равный 1. Спасибо Chardash за указание в сторону книги «Беседы о строительной механике» Перельмутера А.В, где на 99 странице есть таблица с оптимальными и рекомендуемыми параметрами конечных элементов,в том числе коэффициента формы.

Правда и там Анатолий Викторович не объясняет, почему используется именно этот критерий, тем более, что получается, что формулы для треугольных и четырехугольных элементов, судя по всему, различаются, а значит критерий, вероятно, не универсален. То есть мы не можем сказать, что сетка из треугольников с коэффициентом формы = 1.

2 лучше или хуже сетки четырехугольников с тем же коэффициентом формы.

Почему выбрана именно эта формула я определить не берусь. Каких-то научных трудов, где она упоминалась бы, я тоже найти не смог.

Зато нашел другие варианты определения коэффициента геометрической формы плоской фигуры, например в этой статье коэффициентом формы называется несколько иная характеристика, выражающаяся через контурный интеграл.

Для сравнения, коэффициент формы равностороннего треугольника и квадрата из приведенной статьи — 6 корней из 3 и 8 соответственно.

По умолчанию SCAD считает нежелательными элементами треугольные элементы с коэффициентом формы, превышающим 1.3 и четырехугольные — 1.4.

Выводы по предварительному анализу:

1. Ортогональная сетка дает существенно меньшее количество элементов и узлов при одинаковом шаге разбиения. 
2. Ортогональная сетка дает существенно меньший процент треугольных КЭ. Ортогональная сетка изначально создается из прямоугольных треугольников, которые изначально предназначены для объединения в прямоугольники. 
3. Неортогональная сетка дает меньше «неправильных» элементов. Объяснимо тем, что она изначально создается по правилам, которые позволяют почти все элементы
4. Улучшение качества триангуляции дает ощутимое снижение «неправильных» элементов. То есть только на основании цифр из этой таблицы можно рекомендовать этот инструмент к использованию.

Загружения

Все 4 модели были загружены одинаковым набором нагрузок:

1. Собственный вес элементов
2. Кратковременная равномерно распределенная на плиты (2.4 кПа)
3. Длительная равномерно распределенная на плиты (1.8 кПа)
4. Ветер в «левый» торец здания (после разбиений на всех 4 моделях узлы этого торца оказались распределены с постоянным шагом, что дало возможность приложить ветровую нагрузку в виде трапециевидной, приложенной к узлам):
5. Модальный анализ. Псевдозагружение, используемое для определения собственных частот модели.

Были сформированы одинаковые исходные данные для РСУ и комбинация L1+L2+L3+L4 для всех моделей.

Линейный расчет

Cхема с ортогональной сеткой	Схема с неортогональной сеткой	Схема с ортогональной сеткой (после улучшения)	Схема с неортогональной сеткой (после улучшения)
Порядок системы уравнений	151008	246096	151008	246096
Необходимое количество оперативной памяти	380.5 Mb	503.4 Mb	380.5 Mb	503.4 Mb

Выводы:

1. Очевидно, так как модель с разбиением неортогональной сеткой имеет большее число элементов и узлов, то и машинных ресурсов на неё затрачивается больше.
2. Улучшение качества триангуляции никак не влияет на ресурсоемкость задачи, так как не изменяет числа элементов и/или узлов, лишь передвигая их.

Модальный анализ

Периоды собственных колебаний по первым 4 формам представлены в таблице:

Cхема с ортогональной сеткой	Схема с неортогональной сеткой	Схема с ортогональной сеткой (после улучшения)	Схема с неортогональной сеткой (после улучшения)
Форма 1	2.1428	2.1048	2.1439	2.1056
Форма 2	1.4942	1.4894	1.4952	1.4906
Форма 3	0.6327	0.6326	0.6327	0.6326
Форма 4	0.5297	0.5235	0.5298	0.5235

Выводы:

1. Так как при автоматическом распределении масс SCAD массы всех элементов распределяет между их узлами, то чем мельче будут элементы в модели, тем более равномерным будет распределение масс. 
2. Даже в моделях с одинаковым шагом триангуляции контуров разница периодов (а, соответственно, и частот) собственных колебаний составила до 2%. При более редком разбиении, очевидно, ошибка определения собственных частот будет только возрастать.

Поля напряжений в плитах

После линейного расчета были рассмотрены поля напряжений. Приводить огромное число картинок не вижу смысла, в конце статьи присутствуют ссылки на расчетные файлы — каждый может рассмотреть интересные поля самостоятельно.

Анализировать поля количественно не позволяют всплески — максимальные и минимальные значения полей напряжений приходятся именно на них. Качественно же, очевидно, картины напряжений не отличаются. 

В качестве примера картины всплесков напряжений привожу картину Mx на одной из плит возле одной и той же колонны:

Как видно — неортогональная сетка в данном случае не помогла избавиться от всплеска напряжений. Мало того, численно в показанных КЭ напряжения в неортогональной сетке оказались даже выше.

Но при этом форма полей напряжений в данной области в неортогональной сетке заметно лучше — видны эллипсоидные изолинии, равномерно расходящиеся от колонны, в то время как в ортогональной сетке форма полей гораздо более хаотична и непрозрачна.

• Рассмотрим другую колонну, на этот раз крайнюю:
• Опять форма полей напряжений в неортогональной сетке не идеальна (концентратор напряжений слева от колонны смещен к соседнему узлу, что явно неверно), но субъективно общая форма изолиний кажется более прозрачной и понятной, особенно на «улучшенной» сетке (нижнее изображение).
• Есть и пример, где всплеск напряжений на неортогональной сетке практически не проявился:

Армирование плит

Исходные данные для групп армирования и РСУ были заданы одинаковыми. Нагрузки были заданы близкие к реальным для подобного типа зданий.

Приведены одинаковые участки одной и той же плиты в разных моделях. Картинки сверху — модели до улучшения сеток КЭ, внизу — после. Армирование верхнее по горизонтальному (на рисунке) направлению. Фоновая арматура принята одна и та же для всех схем, рассмотрено дополнительное армирование.

1. Выводы:

1. Численные значения напряжений и получаемого армирования в целом по соответствующим элементам здания практически идентичны.
2. В моделях, где присутствуют вытянутые треугольники, зоны допармирования также сильно вытягиваются.
3. Сами же вытянутые треугольники, так как в них появляются концентраторы всплесков напряжений, SCAD армировать отказывается, вследствие чего у неопытного пользователя может возникнуть ощущение, что, например, в данной плите необходимо применять капители или же увеличивать толщину плиты.
4. Улучшение качества триангуляции, хоть и не дает возможности избавиться от всех вытянутых «красных» треугольников, позволяет существенно выровнять картину армирования.
5. Хоть общая картина армирования в модели с неортогональной сеткой и выглядит лучше, но в ней присутствуют небольшие конечные элементы со всплесками даже там, где в модели с ортогональной сеткой всплески отсутствовали.

Поля напряжений в стенах

• Рассматриваем напряжения Nx в стенах модели:
• Выводы:

1. Так как стены зачастую имеют более регулярную форму, то ортогональная сетка прекрасно справляется с разбиением стен на равномерные прямоугольные элементы без треугольных включений и «неправильных» конечных элементов. В таких условиях ортогональная сетка работает, по субъективным ощущениям, лучше, выдавая более равномерные изолинии с концентраторами напряжений в углах стен, а не в центрах конечных элементов.

Общие выводы

Не берусь утверждать, что открыл что-то новое для читателей и уж тем более не берусь давать каких-либо советов. При этом надеюсь, что на частый вопрос пользователей: «зачем в 21 версии скада ввели эту ужасную сетку» ответ я дал как минимум частично. 

Использованные модели

1. Ортогональная сетка
2. Ортогональная сетка после улучшения
3. Неортогональная сетка
4. Неортогональная сетка после улучшения
5. Контурная заготовка

Методы построения расчетных сеток

Руководитель направления: д.ф.-м.н. В.А. Гаранжа

Построение расчетных сеток является неотъемлемой составляющей и важным этапом в задаче численного моделирования течений жидкости и газа вокруг тел сложной формы.

Геометрические модели тел и областей в задачах вычислительной аэродинамики и прочности, как правило, создаются с использованием «тяжелых» пакетов САПР, таких, как Catia, Solidworks и др.

Для работы с такими моделями необходимо использовать специальные библиотеки, которые обычно для краткости называют «геометрическими ядрами». Наиболее широкое распространение получило геометрическое ядро фирмы Parasolid.

В задачах инженерного анализа и качества производства модели восстанавливаются по данным трехмерного сканирования с использованием методов трехмерной реконструкции.

Методы реконструкции также широко используются в компьютерной графике, биологии, медицине, архитектуре и во многих других прикладных и фундаментальных областях.

Достаточно типична ситуация, когда геометрическая модель содержит различные дефекты, неточности, противоречия как с геометрической точки зрения, так и топологически.

Таким образом, обычно этап построения сетки предваряется этапом «чистки» геометрии, на выходе из которого получается корректная «твердотельная» геометрическая модель.

Математическое обеспечение, используемое для исправления геометрических моделей является весьма сложным, изощренным и дорогостоящим.

К современных алгоритмам построения расчетных сеток предъявляется требование устойчивости к сравнительно небольшим дефектам описания геометрии, что позволяет избежать этапа исправления геометрии.

Методы и алгоритмы построения расчетных сеток

Для задач численного моделирования течений жидкости и газа можно использовать различные типы расчетных сеток, включая криволинейные блочно-структурированные сетки, тетраэдральные сетки, гибридные сетки, состоящие их тетраэдров с призматическими слоями вблизи тел с граничными условиями прилипания, общие неструктурированные сетки, состоящие из тетраэдров, призм, пирамид и гексаэдров, полиэдральные сетки, состоящие из невыпуклых многогранных ячеек с произвольным числом граней, а также адаптивные декартовы сетки с иерархической структурой, основанной на восьмеричных деревьях и с использованием усеченных ячеек.

Для каждого из типа сеток можно указать свои преимущества и недостатки. Для тетраэдральных сеток существуют быстрые и надежные алгоритмы построения в случае тел сложной формы, однако они не являются самым эффективным инструментом при наличии пограничных слоев и слоев смешения.

Сравнительно простой и эффективный способ исправления базовых недостатков тетраэдральных сеток основан на построении слоев сильно анизотропных призматических сеток в пограничных слоях и других областях анизотропии решений.

Криволинейные блочно структурированные сетки позволяют получать численные решения с высокой степенью точности и достоверности, но их построение до сих пор не поддается автоматизации и требует длительно времени и больших трудозатрат.

Методы построения неструктурированных полностью гексаэдральных сеток в настоящее время активно развиваются, но проблема их автоматического построения еще не решена.

• задание областей посредством неявных функций;
• построение тетраэдральных сеток в неявных областях;
• самоорганизация вершин сетки путем расталкивания;
• проекция вершин на границу области;
• «проявление» острых ребер границы;
• оптимизация для удаления плоских тетраэдров.

В задаче построения структурированных и блочно-структурированных сеток можно выделить следующие ключевые ингредиенты

• вариационный принцип для построения квазиизометрических отображений;
• итерационный алгоритм;
• движение точек по границе неявной области;
• распутывание и оптимизация гексаэдральных сеток:
• примеры распутывания и оптимизации.

Текущий статус разработки сеткостроителя и программы визуализации, планы работ и перспективы развития в области построения сеток

• В 2011 реализована полная технологическая цепочка построения сеток: модель в формате STEP ? тесселированная модель ? модель, разрезанная на блоки ? построитель поверхностных сеток ? построитель объемных сеток;
• для обработки моделей САПР используется геометрическое ядро OpenCascade;
• в текущей версии рассматриваются удлиненные тела вращения с элементами управления (рули, крылья и т.д.), разрезание на блоки производится плоскостями;
• в текущей версии реализовано внутреннее блочное представление сеток, вычислительное ядро построителя поддерживает блочную структуру;
• адаптация сеток к кривизне находится в исследовательской фазе;
• программа визуализации позволяет показывать сетки, расчетные поля, изолинии, изоповерхности, в том числе в стереорежиме с очками.

Первоочередные задачи разработки построителя сеток и визуализатора.

• реализация устойчивой версии адаптации поверхностной сетки к кривизне с учетом зашумленности поверхности;
• реализация полуавтоматического построителя блочных сеток на поверхности, требует интеграции с графическим интерфейсом пользователя;
• реализация трехмерных сеток с квазидвумерным блочным разбиением;
• задание трехмерного блочного биения, требует интеграции с графическим интерфейсом пользователя;
• реализация построителя тетраэдральных сеток по заданной граничной триангуляции.
• задание блоков сетки в визуализаторе.

Литература

1. Гаранжа В.А., Капорин И.Е. Регуляризация барьерного вариационного метода построения расчетных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. 9. С.1489-1503.

Сетка (расчетная) — это… Что такое Сетка (расчетная)?

Функция одной переменной Ф, заданная на структурированной сетке {xk}

Расчетная (вычислительная) сетка — совокупность точек (сеточных узлов), заданных в области определения некоторой функции {xk}={x1, x2 … xK}.

Функция двух переменных Ф, заданная на структурированной сетке

Расчетные сетки используются при численном решении дифференциальных и интегральных уравнений. Качество построения расчетной сетки в значительной степени определяет успех (неудачу) численного решения уравнения.

Классификация и методы построения расчетных сеток

Процедуру построения расчетной сетки можно рассматривать как построение взаимно-однозначного отображения области определения функции (физической области) на некоторую расчетную область, имеющую более простую форму.

Алгебраические методы построения сетки

Алгебраические сетки строятся путём решения алгебраических уравнений. Примером простейшей сетки, заданной на отрезке, может служить множество {xk}={x1, x2 … xK}, где xk=x1+dx*(k-1). Величина dx в этом случае называется шагом расчетной сетки.

Основными достоинствами алгебраических методов являются хороший контроль распределения внутренних узлов сетки и высокая эффективность их численной реализации, что особенно важно при построении адаптивных (перестраивающихся в процессе расчета) сеток. Недостаток алгебраических методов заключается в распространении разрывов границ внутрь области.

Применение дифференциальных методов, как правило, позволяет получать более гладкие сетки.

Дифференциальные методы построения сетки

Построение сеток методом конформных отображений

Недостаток методов построения расчетных сеток, использующих метод конформных отображений, заключается в том, что они пригодны лишь для построения двумерных сеток.

Сетки, связанные (согласованные) с границей области

Простейший способ построения расчетной сетки заключается в разбиении пространства системой поверхностей, эквидистантных базовым поверхностям стандартных координатных систем, что позволяет существенно упростить запись решаемых дифференциальных уравнений.

Недостаток интерференционной концепции заключается в несвязанности сетки с формой границ области – при рассмотрении областей определения функции произвольной формы, ни одна из координатных линий не совпадает с границей, что приводит к снижению качества реализации граничных условий и (или) к чрезвычайному усложнению расчетного алгоритма и, как следствие, к увеличению затрат машинного времени. Такой подход использован, например, в программном комплексе [1], разработанном российской фирмой Тесис. За счет использования криволинейных сеточных линий, можно добиться совпадения границ области определения функции (физической области) и сеточных линий, что позволяет упростить запись граничных условий. Однако, вследствие преобразования координат, в уравнении, подлежащем решению, как правило, появляются дополнительные члены.

структурированные (регулярные) сетки

Криволинейная структурированная сетка.

В тех случаях, когда множество сеточных узлов является упорядоченным расчетная сетка называется структурированной. Использование структурированных сеток (по сравнению с неструктурированными) позволяет, как правило, уменьшить продолжительность расчета и необходимый объём оперативной памяти ЭВМ. В то же время, процедура построения криволинейной регулярной сетки, как правило, требует больших затрат труда и ресурсов ЭВМ, по сравнению с процедурой построения нерегулярной сетки.

en:Regular grid

неструктурированные (нерегулярные) сетки

Неструктурированная расчетная сетка, используемая в МКЭ

en:Unstructured grid

ортогональные и ортогонализованные сетки

Для получения решения дифференциального уравнения, имеющего требуемую точность при минимальных затратах ресурсов ЭВМ, расчетная сетка должна обладать рядом свойств. В частности, как показывает опыт многих исследователей, расчетные ячейки должны обладать малой скошенностью, то есть расчетная сетка должна быть, по возможности, ортогонализованной.

Задача построения многомерной ортогонализованной расчетной сетки формулируется как задача о минимизации функционала I=int(wQ dV), где w – весовая функция, Q – мера ортогональности сетки. В качестве меры Q может быть использована сумма скалярных произведений касательных к координатным линиям сетки.

Можно показать, что вариационная задача о построении ортогонализованной расчетной сетки сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений Пуассона.

Как известно, система уравнений Пуассона при заданных граничных условиях описывает распределение тепла в рассматриваемом объёме, что позволяет рассчитывать на получение гладких сеточных линий, даже в тех случаях когда границы физической области имеют изломы.

Принцип максимума, справедливый для эллиптических уравнений, гарантирует, что максимальные и минимальные значения расчетных координат будут достигаться на границах области. Поскольку используется система эллиптических уравнений, в качестве граничных условий должны задаваться либо координаты узлов сетки на границах (условие Дирихле) либо наклон координатных линий на границах (условие Неймана).

Многосеточный метод

Адаптивные сетки

В задачах с разрывными решениями (в том числе в задачах сверхзвуковой газодинамики) расчетная область характеризуется наличием разномасштабных элементов сложной неоднородной структуры. Достаточно большие зоны имеют малые или умеренные градиенты параметров решения.

Вместе с тем встречаются сравнительно узкие области, градиенты параметров решения в которых достигают больших величин. Это — ударные волны, контактные разрывы, пограничные слои. Для получения достоверного численного решения задач такого типа необходимо использовать расчетные сетки с малым пространственными шагами.

Вычислительные затраты при этом становятся столь значительными, что из-за ограничений вычислительной техники не всегда удается получить достаточно точное решение задач.

В подобных случаях становится желательным применение динамически адаптивных сеток, позволяющих использование малых пространственных шагов сетки, где это необходимо, для соблюдения жестких требований к численным методам, но при этом сохраняя умеренные требования к вычислительной технике.

Методы динамически адаптивных сеток являются одним из наиболее эффективных подходов для повышения точности численного решения в расчетных областях с несколькими пространственными масштабами, отражающими неоднородную структуру решения.

Основная идея методов динамически адаптивных сеток состоит в уменьшении размеров ячеек в тех зонах расчетной области, в которых возникают большие ошибки решения. Так как в большинстве случаев искомое решение неизвестно и невозможно определить ошибку, представляющую собой разность точного и приближенного решения в некоторой норме, то в качестве меры ошибки решения чаще всего используют градиенты или разности параметров решения. Выделяют два этапа процесса адаптации: работу критерия и собственно адаптационные процедуры.

Процедуры адаптации. В литературе отмечаются следующие основные подходы: полная регенерация сетки; локальное дробление-слияние ячеек; перемещение узлов.

Полная регенерация сетки заключается в построении новой сетки с использованием информации, полученной на старой сетке, и переинтерполяцией решения. В методе перемещения узлов предполагается, что общее число расчетной сетки фиксировано.

Их перераспределение также осуществляется с целью повышения густоты сетки в областях локализации особенностей решения и разрежения ее там, где такие особенности отсутствуют.

Метод локального дробления-слияния ячеек расчетной сетки сводится к включению в сетку дополнительных узлов в окрестностях локализации особенностей решения с одновременным удалением лишних узлов в регионах, где решение не содержит особенностей. При двух крайних методах необходимо поддерживать необходимое качество расчетной сетки.

Многоблочные сетки

Файл:Example curvilinear grid.svg

Another example of a curvilinear grid.

Литература

• Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т.: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990.
• Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М. Мир, 1991, в 2-х т.
• Thompson Joe F., Warsi Z. A., Mastin C. V. Numerical Grid Generation, Foundations and Applications. – Amsterdam: North-Holland, 1985

См. также