Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

Правила координат:

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

  • Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
  • Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
  • Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

 

  1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например, точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например, точка F (3, 0).
  3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0). Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?
  4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы. Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?
  5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты. Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?
  6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0). Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?
  7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y). Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

 

  1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
  2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
  3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

 

  1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас перед 4 стоит знак минус.
  2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Шаг 1 из 2. Данные ученика

Как найти и записать координаты точки

  • Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про как найти, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое как найти,записать координаты точки , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика
  • каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
  • Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на первомместе стоит абсцисса, а на втором — ордината точки.

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

  • находить координаты точки;
  • найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью x называется абсциссой точки А, а с осью y называется ординатой точки А.

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

Обозначают координаты точки, как указано выше (•) A (2; 3).

Пример (•) A (2; 3) и (•) B (3; 2).

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки? Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси x), а на втором — ординату (координату по оси y) точки.

Особые случаи расположения точек

  1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например, точка F (3, 0).
  3. Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?
  4. Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?
  5. Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?
  6. Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
  7. Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).

как найти положение точки по ее координатам

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по ее координатам, например, точки D (-4 , 2), надо:

  1. Отметить на оси Ox, точку с координатой (-4), и провести через нее прямую перпендикулярную оси 0x.
  2. Отметить на оси Oy, точку с координатой (2), и провести через нее прямую перпендикулярную оси 0y.
  3. Точка пересечения перпендикуляров (•) D — искомая точка. У нее абсцисса равна (-4), а ордината равна (2).

Второй способ

Чтобы найти точку D (-4 , 2) надо:

  1. Сместиться по оси x влево на 4 единицы, так как у нас перед 4 стоит «-».
  2. Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит «+».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать готовую систему координат на нашем сайте.

Читайте также:  Горный компас и работа с ним измерение элементов. Горный компас

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про как найти Надеюсь, что теперь ты понял что такое как найти,записать координаты точки и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в х, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика

Как определить прямоугольные координаты на топографической карте

Координаты являются методом обозначения точки на карте. В картографии используются различные координаты: плоские, прямоугольные, угловые, биполярные и полярные. В целях обозначения объектов недвижимого имущества на топографических картах применяются прямоугольные координаты. Ведь определение прямоугольных координат на топографических картах гораздо проще и точнее.

Понятие прямоугольных координат

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?

Прямоугольные координаты представлены в виде точек пересечения предполагаемых линий по данным взаимно перпендикулярных осей на плоской поверхности. Обычно данные оси на плоскости условно обозначаются латинскими буквами x (абсцисса), y (ордината). Предполагаемые линии, пересечение которых является точкой местоположения, определяются по целым и дробным числовым показателям на указанных осях.

В классической науке такая система носит название декартовая система. Однако классическая система Декарта и применяемая в целях топографического обозначения объектов на карте несколько различаются между собой. Так, в системе расположение осей повернуто на 90 градусов по углу. Названа такая система в честь основателя – Гаусса.

Система Гаусса используется для разделения всей территории Земли на отдельные зоны. Внутри каждой из зон координат идёт обозначение своих числовых выражений предполагаемых линий определения точек. Важным моментом является установление точки отсчёта внутри зоны.

Обычно в качестве такой точки выступает место пересечения срединного меридиана в полосе с экватором планеты. Данная точка не имеет материальной величины, так что обозначается она в качестве нулевой отметки, а её значение всегда равно нулю.

В целом такая система имеет вид сетки с бесконечным количеством числовых значений. Там могут отображаться две группы числовых значений:

  1. Значения со знаком минус – для обозначения объектов, находящихся южнее и к западу нулевой отметки.
  2. Положительные числовые значения – для указания мест расположения точек восточнее и севернее центральной точки системы координат.

Однако это не полная характеристика значений, указываемых в прямоугольных координатах точек на топографических картах. К примеру, при обозначении точек расположения на топографических картах отрицательные значение не используются.

Координатные зоны по системе Гаусса по всей земной поверхности пронумерованы. При обозначении точек на отдельных зонах помимо координат внутри самой зоны указывается номер, который приурочен к указанному квадрату по системе Гаусса.

Данный номер указывается перед отрицательными значениями координат на оси ординат. На оси абсцисс номер зоны не указывается. Указание номера означает смещение нулевой отметки на 500 км в левую сторону. Это сделано, чтобы исключить наличие значений со знаком минус на карте.

Значения обозначаются в километрах и равны они промежутку от нулевой отметки на оси до соответствующего места на карте.

Значение при этом указывается двояко:

  1. Полные координаты – указывается промежуток с точностью до метра.
  2. Сокращённые координаты – обозначаются лишь километры до десятков и метры.

Однако в основном используются полные координаты, так как точное указание местоположения точки имеет большое значение в топографических целях. Сокращённые координаты допускается использовать лишь в случае, когда топографическая карта охватывает не более 10 тысяч квадратных километров, т. е. реальные длины осей не превышают ста километров.

При обозначении отрицательного значения на оси У указывается сначала ось, потом номер зоны по системе Гаусса и в конце промежуток от нулевой отметки до объекта на карте. Примерно, прямоугольные координаты точки на топографической карте выглядят следующим образом: х = 5 650 450; у = 3 620 840.

В подобном случае значение по оси Х толкуется прямо, а для установления отдалённости точки по ординате от нулевой отметки из указанного значения вычитается 500 километров. А это значит, что точка в указанном примере находится в 5 650 километрах и 450 метрах от экватора и 120 километрах и 840 метрах от срединного меридиана.

Определение точек на карте по координатной сетке

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?Координатную сеть иначе ещё называют километровой, так как на мелких картах величина квадратов сетки равняется километру. На подобных картах километровая сеть изображается в виде линий, прочерченных параллельно осями и имеющих определённый интервал между собой. Интервал устанавливается в зависимости от масштаба.

Так, при масштабе 1 : 25 000 значение интервала равняется 4 сантиметрам. При большем масштабе интервал не бывает меньше 2 сантиметров, невзирая на реальное расстояние между линиями. При масштабе больше чем 1 : 500 000 сетка прямо не изображается. Обозначаются лишь выходные метки по краям карты.

Координатная сеть является условной для отдельной зоны, и для сопоставления топографии соседних зон по краям карты оставляются отметки сетки, которые соответствуют выходам сетки соседней зоны.

При обозначении значений координат на топографических картах координатная сеть позволяет быстрее обозначить необходимую точку. Отсчет расстояния идёт от границ квадрата координатной сетки. Каждая из сторон отдельного квадрата сетки имеет заранее определенную реальную длину в километрах (1, 2 и т. д. километров).

Чтобы осуществить определение координат  точек на картах, очень важно иметь ориентиры. Если изначальное координаты ясны и нужно лишь указать их на карте, то делается это следующим образом:

  1. Определяется квадрат на сетке по километру координат.
  2. При помощи линейки отсчитываются метровые величины внутри квадрата, сначала по параллельной линии к оси абсцисс, затем к оси ординат.
  3. Вдоль линий указываются метровые значения.

В целом процедура завершена. Однако на практике не всё так просто. Зачастую не имеется значения изначальных координат. В таких случаях важно иметь определенные ориентиры, без которых найти точку представляется невозможным. В качестве ориентира может послужить любая близлежащая точка с известными координатами. Достаточно выяснить реальное расстояние между известной точкой и искомым объектом.

Указать адрес точки на карте на 100 % точно невозможно, так что определяются примерные значения.

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?С другой стороны, современные технологии позволяют произвести точные измерения на месте с моментальным отображением результатов на электронной топографической карте. Для этого применяются методы лазерного измерения или радиолокации. В любом случае при практической необходимости выяснения местоположения того или иного объекта недвижимости правильным решением будет обратиться к специалистам.

В качестве специалистов могут выступать:

  • инженеры государственной службы геодезии и картографии (кадастр);
  • специалисты частных инженерных служб.

При этом частные инженерные службы в своём распоряжении имеют более высокотехнологичное, а значит и более точное оборудование, нежели государственные органы. Разумеется, услуги таких специалистов стоят не дёшево.

Соотношение прямоугольных координат с другими системами обозначения точек на карте

Помимо непосредственного использования прямоугольной системы или системы Гаусса часто возникает необходимость сопоставления данных в указанной системе и на обычной географической карте. В таких случаях используется несколько методов:

  1. Метод перевода значения из числового значения в стандартные значения (широты и долготы).
  2. Способ наложения значения расстояний по масштабу.
  3. Метод сопоставления географической карты с целой зоны Гаусса.
Читайте также:  Как попасть в школьную волейбольную команду: по шагам

Практическое применение находит лишь первый метод, так как он признан официальным способом переложения координат объектов недвижимости из обычной топографической карты в географическую. Именно данный способ используют государственные службы и частные специалисты.

С другой стороны, это один из самых сложных способов, требующий специальных навыков и знаний. Кроме того необходимо наличие сведений о ключевых топографических точках.

Самым простым способом признаётся метод наложения расстояния. По сути, зная масштаб, вычислить координаты может даже школьник при помощи обычной линейки. Однако погрешность в таком случае может быть равна десяткам километров.

Как определить координаты точек. Как найти координаты точки?Метод сопоставления карт применяется крайне редко. К примеру, такой способ может быть использован при корректировке генерального плана расширения населённых пунктов, определения границ регионов и государств.

Но данные методы позволяют не только решить частные проблемы, но и узнать координаты искомого объекта недвижимости. Такое стало возможным после предоставления открытого доступа к картам GPS. Постоянное спутниковое наблюдение за поверхностью земли позволило с точностью до метра определить местоположение практически любого объекта, не оснащенного радиопоглощающим покрытием.

Выяснить местоположение путем сопоставления данных с GPS и топографической карты может практически любой человек. Для этого необходимо:

  • получить данные географических координат из системы GPS, выраженные в широте и долготе;
  • по ним вычислить зону Гаусса (срединный меридиан в зоне);
  • переложить точку соответственно зоне Гаусса.

Разумеется, задача не простая, но зато выполнимая. Другой вопрос – официальный статус такого вычисления.

Официальный статус определённых прямоугольных координат объектов недвижимости

Выявленные частным образом координаты никогда не будут иметь официального статуса. Ведь в целях топографии законодательством установлены специальные ГОСТы определения местоположения объектов недвижимости. Но при желании одним из вышеуказанных способов можно проверить соответствие официальных данных по тому или иному объекту недвижимости.

Очень редко, но всё же встречаются случаи, когда официальные данные в службе геодезистов не совсем точны. Никакого практического значения в повседневной жизни данный фактор может и не иметь. Однако он важен при определении так называемых «красных линий» на топографических картах. Это линии, по которым будут пролегать дороги и инженерные линии, и которые будут в будущем реквизированы.

Если по топографической карте данные объекта недвижимости указаны неверно, то его владелец может оказаться жертвой ошибочной реквизиции. Чтобы такого не случилось, при выявлении несоответствий фактических и официальных топографических координат необходимо сообщить об этом в уполномоченный орган (кадастр).

Если в удовлетворении ходатайства о проведении проверки и внесении изменений служба откажет, то можно добиться своего через суд. В таком случае будет назначена отдельная экспертиза с привлечением сторонних специалистов. В целом, процедура расходная и отнимает много времени, но рано или поздно владелец недвижимости может с таким столкнуться.

Как найти координаты точки

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную
Найти репетитора Поддержать сайт Оси координат. Координатные четверти Как найти и записать координаты точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса, а на втором — ордината точки.

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

  • находить координаты точки;
  • найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А», а с осью y называется ординатой точки «А».

Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).

Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).

Запомните!

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором — ординату (координату по оси «y») точки.

Особые случаи расположения точек

  1. Если точка лежит на оси «Oy», то её абсцисса равна 0. Например, точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0. Например, точка F (3, 0).
  3. Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
  4. Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
  5. Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
  6. Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
  7. Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по её координатам, например, точки D (−4 , 2), надо:

  1. Отметить на оси «Ox», точку с координатой «−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox».
  2. Отметить на оси «Oy», точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Oy».
  3. Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка. У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.

Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:

  1. Сместиться по оси «x» влево на 4 единицы, так как у нас перед 4 стоит «−».
  2. Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит «+».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать готовую систему координат на нашем сайте.

Найти границы по координатам — самостоятельно

Чаще всего необходимость найти границы земельного участка возникает либо у собственника земли – чтобы оградить участок, либо у покупателя или арендатора – в целях проверки предлагаемого участка. Причины могут быть разные.

Если у вас возникла необходимость узнать, где фактически расположены границы нужного участка и сверить их с имеющимися координатами – тогда эта статья для вас.

Кратко о том, что такое границы, поворотные точки и координаты

Границы земельного участка определяются при помощи геодезического оборудования. Каждой точке соответствует своя координата, которая вычисляется путем измерений на местности и последующей обработки данных прибора.

Так, все поворотные точки земельного участка, будь их 4, 5 или 10 имеют свое цифровое обозначение и содержатся в выписке ЕГРН.

Для того, чтобы быстро узнать, где находятся границы нужного участка по координатам – надо заказать услугу: «Вынос границ в натуру» — данная услуга оказывается геодезическими и кадастровыми компаниями за плату.

Рассмотрим несколько способов поиска границ участка по координатам самостоятельно, при помощи имеющихся подручных данных и средств.

Координаты из выписки ЕГРН х и у

Если заказать расширенную выписку ЕГРН на земельный участок, то в разделе 3.2 выписки мы увидим сведения о характерных точках границ земельного участка в виде набора цифр.

Координаты в ЕГРН содержатся в местной системе (на нашем примере – система координат – Московская).

Можно ли найти границы участка самостоятельно, зная эти координаты и как это сделать?

Как найти участок по координатам x y на карте

Если у Вас есть данные из местной системы координат, то скорее всего вы их получили из выписки, а значит у вас есть кадастровый номер земельного участка. По кадастровому номеру легко определить, где именно находится участок – его лишь надо вбить в поисковик публичной кадастровой карты и вы увидите не только месторасположение ЗУ, но и его описание (адрес, категория земель, кадастровая стоимость, площадь и т.д.)

Читайте также:  Как завязать леску на мормышку фото. как привязать мормышку. лучшие узлы для мормышек!

Но, если у вас есть только координаты – тогда дело обстоит сложнее.

Чтобы найти участок по координатам Х, У следует их перевести в географические координаты. Для этого есть масса бесплатных и платных сервисов пересчета координат из одной системы в другую на просторах интернета.

Однако имейте ввиду, что пересчет (особенно бесплатный) будет приблизительным и данные таких координат могут иметь размах плюс минус пара-тройка метров, а то, итого больше.

Если же у вас есть кадастровый номер участка, то вы можете найти его географические координаты на той же публичке – подробную инструкцию о том, как это сделать мы писали в отдельной статье.

Если кратко – наведите курсор на угол интересующего земельного участка и кликните мышкой – поисковик отразит географические координаты. См. фото ниже.

Как самостоятельно определить координаты земельного участка на местности

Предположим, вам известно местонахождение участка, но неизвестны его фактические границы. Вы воспользовались поиском участка на карте и знаете его географические координаты – осталось только данные со спутника сориентировать на местность с учетом месторасположения близлежащих построек. Проще всего вбить координаты в свой гаджет и воспользоваться поиском встроенного навигатора.

Как с помощью смартфона определить координаты земельного участка

Все мы давно пользуемся GPS навигацией. Однако, стоит понимать, что телефоны работают по упрощенной системе и не всегда отражают местность так как она есть в действительности. Наверняка вы сталкивались хоть однажды с тем, что навигатор периодически «тупит» и теряется в дороге. Тоже самое происходит и тогда, когда вы пытаетесь на местности найти нужную координату.

В телефонах для повышения точности используются, как правило сотовые вышки, по факту это приводит к погрешности в несколько метров. Конечно, если участок измеряется десятками гектар, тогда это отклонение мизерное, но если вы хотите узнать площадь или границы участка 5-6 соток, тогда разница по факту будет колоссальной.

Если вы все же решили использовать телефон и с помощью него определить координаты – тогда воспользуйтесь программой навигации – сохраните или запишите географические координаты каждой точки на местности, а затем при помощи этих координат найдите местонахождение участка на публичной кадастровой карте и убедитесь – совпадают ли фактические границы с границами карты.

Заключение

Найти границы участка по координатам самостоятельно возможно. Однако они будут неточными и не годятся для официальной документации. Наверняка, с развитием информационных систем доступ к точному определению координат будет не только у геодезистов, которые используют в работе дорогостоящие приборы, но и у простых граждан.

На сегодняшний момент, чтобы найти соответствие месторасположения земельного участка его координатам на бумаге, надо вызывать геодезиста и оплатить его труд. Тогда данные о границах и точках будут точными и достоверными, с минимальной погрешностью.

Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1.

Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис.

1)

Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Пример 1

Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.

Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

  • Решение.
  • Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.
  • Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ — единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Теорема 1

  1. Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.
  2. Математически это выглядит следующим образом:
  3. $overline{δ}=moverline{α}+noverline{β}+loverline{γ}$
  • Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид
  • $overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)
  • где $n,m,l∈R$.

Определение 1

Три вектора $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ будут называться координатными векторами.

Определение 2

Коэффициенты перед векторами $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть

$overline{δ}=(m,n,l)$

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.

Доказательство.

Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.

  1. Эти вектора можно записать следующим образом
  2. $overline{α}=α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k}$, $overline{β}=β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}$
  3. $overline{α}+overline{β}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}+β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}=(α_1+β_1 )overline{i}+(α_2+β_2 )overline{j}+(α_3+β_3)overline{k}$
  4. Следовательно
  5. $overline{α}+overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$
  6. Теорема доказана.

Замечание 1

Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.

Теорема 3

  • Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.
  • Доказательство.
  • Возьмем $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $overline{α}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}$, а
  • $loverline{α}=l(α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k})=lα_1overline{i}+ lα_2overline{j}+lα_3overline{k}$
  • Значит
  • $koverline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$
  • Теорема доказана.

Пример 2

Пусть $overline{α}=(3,0,4)$, $overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $overline{α}+overline{β}$, $overline{α}-overline{β}$ и $3overline{α}$.

  1. Решение.
  2. $overline{α}+overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$
  3. $overline{α}-overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$
  4. $3overline{α}=(3cdot 3,3cdot 0,3cdot 4)=(9,0,12)$

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector